基础数学示例

$\frac{\sqrt{60} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

将 $60$ 重写为 $2^{2} \cdot 15$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $60$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (15)} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

解题步骤 1.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 15} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

解题步骤 1.3

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 1.3.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{4 (5)}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

解题步骤 1.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

解题步骤 1.4

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{15} - (2 \sqrt{5})}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

解题步骤 1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

解题步骤 2

将 $\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$ 。

$\frac{(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{(\sqrt{5} - \sqrt{15}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{75} - \sqrt{75} - {\sqrt{15}}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

$\frac{(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 10}$

解题步骤 3.4

约去 $2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}$ 和 $- 10$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 ((\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15}))}{- 10}$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 ((\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15}))}{2 (- 5)}$

解题步骤 3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 ((\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15}))}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{(\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 5}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{15} (\sqrt{5} + \sqrt{15}) - \sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 5}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{15} \sqrt{5} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 5}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{15} \sqrt{5} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{15 \cdot 5} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $15$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\sqrt{75} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.3

将 $75$ 重写为 $5^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.2.1.3.1

从 $75$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{\sqrt{25 (3)} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.3.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.4

从根式下提出各项。

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.5

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15 \cdot 15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.6

将 $15$ 乘以 $15$ 。

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{225} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.7

将 $225$ 重写为 $15^{2}$ 。

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15^{2}} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.9

乘以 $- \sqrt{5} \sqrt{5}$ 。

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解题步骤 4.2.1.9.1

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.9.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.9.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - {\sqrt{5}}^{1 + 1} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.9.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - {\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.10

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.2.1.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.10.4.1

约去公因数。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.10.4.2

重写表达式。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{1} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.10.5

计算指数。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 1 \cdot 5 - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.11

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.12

乘以 $- \sqrt{5} \sqrt{15}$ 。

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解题步骤 4.2.1.12.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{15 \cdot 5}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.12.2

将 $15$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{75}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.13

将 $75$ 重写为 $5^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.2.1.13.1

从 $75$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{25 (3)}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.13.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.14

从根式下提出各项。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - (5 \sqrt{3})}{- 5}$

解题步骤 4.2.1.15

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - 5 \sqrt{3}}{- 5}$

解题步骤 4.2.2

从 $5 \sqrt{3}$ 中减去 $5 \sqrt{3}$ 。

$\frac{0 + 15 - 5}{- 5}$

解题步骤 4.2.3

将 $0$ 和 $15$ 相加。

$\frac{15 - 5}{- 5}$

解题步骤 4.2.4

从 $15$ 中减去 $5$ 。

$\frac{10}{- 5}$

解题步骤 5

用 $10$ 除以 $- 5$ 。

$- 2$

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